اين هم سوالات المپياد رياضي مرحله دوم سال 1386:

                                                     به نام او

مرحله دوم بيست و پنجمين المپياد رياضي كشور

سه شنبه، 4 ارديبهشت 1386              روزاول                    زمان: چهارساعت و نيم

1)     در مثلث ABC زاويه A قائمه است. نقطه M وسط ضلع BC است. نقطه D را روي ضلع AC به ونه اي انتخاب مي كنيم كه AD=AM . محل برخورد دوم دايره هاي محيطي مثلث هاي AMC  و BDC را P   مي ناميم. نشان دهيد CP نيمساز زاويه ACB  است.

2)     دو راس مكعبي را O و A ناميده ايم به طوري كه قطر يكي از وجوه مكعب است. تعداد مسيرهاي به طول 1386 از O به خودش بيشتر است يا از O به A ؟ (يك مسير به طول n عبارت است از دنباله اي از n+1 راس مكعب كه هر دو راس متوالي در دنباله دو سر يك ضلع مكعب باشند.)

   3)     در شهري تعدادي ساختمان وجود دارد . مي گوييم ساختماني به ساختمان ديگر مشرف است اگر خط واصل از بالاي ساختمان اول به بالاي ساختمان دوم با زمين زاويه اي بيش از 45 درجه بسازد. مي خواهيم در مكاني داده شده ساختمان جديدي بسازيم . نشان دهيد اگر ساختمان هاي قبلي به هم مشرف نباشند مي توان اين كار را طوري انجام داد كه باز هم هيچ ساختماني به ديگري مشرف نباشد شهر را صفحه اي افقي و هر ساختمان را پاره خطي عمودي در نظر بگيريد.

 اينها سوالاي روز اول فعلا اگه دوست داشتين رو اينا فكر كنين اگه هم ايده اي براي حلش داشتين تو نظرات بذارين تا بعدا روز دوم هم بذارم.

تا بعد